EXPRESSO - A anomalia das probabilidades

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CI=CANCIA =

A=20 anomalia das probabilidades

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As estranhas = regularidades do=20 acaso e as reviravoltas da sorte: um obscuro resultado da teoria = das=20 probabilidades est=E1 a ajudar a combater a fraude fiscal. =

Facto=20 surpreendente: mais de metade das portas de rua come=E7am = com um=20 d=EDgito inferior a 4. A confirm=E1-lo, a porta do EXPRESSO = tem o n=FAmero=20 37

QUER ganhar = uma aposta?=20 Diga que consegue acertar no primeiro d=EDgito de um n=FAmero, ou, = pelo menos,=20 que consegue dizer se ele =E9 ou n=E3o menor do que 4. Diga a = algu=E9m para=20 pensar em n=FAmeros reais, o n=FAmero da porta de uma casa, ou a = quantidade de=20 dinheiro que essa pessoa tem no banco, ou uma taxa que essa pessoa = utilize, por exemplo uma taxa de c=E2mbio, ou uma constante = f=EDsica ou=20 matem=E1tica, tal como pi.=20

Se apostar que esse n=FAmero come=E7a por 1, 2, ou 3, = acertar=E1 mais de=20 metade das vezes, 60,2%, para ser preciso. O seu interlocutor = ficar=E1=20 certamente surpreendido, pois, =E0 primeira vista, n=E3o h=E1 = qualquer raz=E3o=20 para que as leis do acaso actuem desta maneira.=20

Muitas pessoas, mesmo as que conhecem bem a teoria das = probabilidades,=20 ficam espantadas com este facto e n=E3o vislumbram qualquer = fundamento para=20 esta invers=E3o do senso comum. Na realidade, qualquer n=FAmero = pode come=E7ar=20 por um dos d=EDgitos de 1 a 9 (exclui-se o zero, por n=E3o ser = primeiro d=EDgito=20 significativo de nenhum inteiro positivo). N=E3o ser=E1 que = qualquer desses=20 nove d=EDgitos tem a mesma probabilidade de ocorr=EAncia? Por que = motivo=20 dever=E1 um n=FAmero escolhido ao acaso ter uma maior propens=E3o = para come=E7ar=20 com os primeiros d=EDgitos: 1, 2 e 3? N=E3o deveria a = distribui=E7=E3o de=20 probabilidade ser uniforme, como se diz, resultando na = probabilidade de=20 1/9 para cada um deles? E n=E3o =E9 3/9 menor do que metade? N=E3o = deveria a=20 nossa aposta ser-nos desfavor=E1vel?=20

O facto surpreendente =E9 que os primeiros d=EDgitos dos = n=FAmeros=20 encontrados na vida real n=E3o t=EAm todos a mesma probabilidade = de=20 ocorr=EAncia. O n=FAmero 1 =E9 o que aparece com maior = frequ=EAncia, cerca de=20 30,1% das vezes; segue-se o n=FAmero 2, com uma probabilidade de = ocorr=EAncia=20 de 17,6%, e por a=ED adiante. A probabilidade decresce = sistematicamente at=E9=20 ao d=EDgito 9, que apenas ocorre em 4,6% dos casos.=20

O primeiro a detectar este facto estranho parece ter sido um = f=EDsico=20 norte-americano, o Dr. Frank Benford. O cientista, que trabalhava = para a=20 General Electric, publicou a sua descoberta em 1938 nos = Proceedings of=20 the American Philosophical Society, mas o seu trabalho nunca = alcan=E7ou=20 grande notoriedade entre matem=E1ticos e estudiosos da teoria das=20 probabilidades. William Feller (1906-1970), que foi durante muitos = anos=20 professor em Princeton, =E9 dos poucos que lhe dedicaram algumas = linhas, no=20 seu c=E9lebre manual de probabilidades.=20

Benford come=E7ou por reparar que as tabelas de logaritmos que = utilizava=20 estavam mais usadas nas primeiras p=E1ginas, as dos n=FAmeros que = come=E7am com=20 o d=EDgito 1, do que nas restantes. O uso das tabelas parecia = decrescer =E0=20 medida que se avan=E7ava para os n=FAmeros come=E7ados por = d=EDgitos mais=20 elevados.=20

Hoje em dia, n=E3o se usam tabelas de logaritmos - as = m=E1quinas de=20 calcular e os computadores permitem muito maior precis=E3o e = rapidez. Mas=20 essas tabelas foram intensivamente utilizadas durante muitos anos, = desde=20 os princ=EDpios do s=E9culo XVII, quando os logaritmos foram = criados pelo=20 matem=E1tico escoc=EAs John Napier (1550-1617), at=E9 h=E1 poucas = d=E9cadas, quando=20 apareceram as calculadoras electr=F3nicas. As tabelas ca=EDram em = desuso mas=20 os logaritmos continuam a ser extensivamente utilizados em = matem=E1tica e em=20 computa=E7=E3o.=20

Surpreendido com a sua descoberta, Benford perguntou-se se o = mesmo=20 aconteceria noutras circunst=E2ncias e analisou uma variedade = imensa de=20 n=FAmeros, incluindo =E1reas de rios, estat=EDsticas desportivas, = n=FAmeros=20 publicados na imprensa e endere=E7os de personagens c=E9lebres. No = total, mais=20 de vinte mil conjuntos de n=FAmeros. Em todas as circunst=E2ncias = encontrou a=20 mesma anomalia, como lhe chamou, verificando que, em mais de 30% = dos=20 casos, os n=FAmeros come=E7avam com o d=EDgito 1, enquanto que = apenas em 5% dos=20 casos come=E7avam com o d=EDgito 9. Que se passaria?=20

O fen=F3meno =E9 dif=EDcil de perceber mas h=E1 alguns exemplos = em que se torna=20 particularmente evidente. Tomemos os n=FAmeros das portas da rua, = por=20 exemplo. Quantas casas existem, em m=E9dia, numa rua? Exactamente = 999? =C9=20 pouco prov=E1vel? Exactamente 99? =C9 tamb=E9m pouco prov=E1vel. = Assentemos, como=20 exemplo, em 50. Sendo assim, =E9 f=E1cil contar quantas portas = come=E7am com o=20 d=EDgito 1. S=E3o onze: a porta 1, a 10, a 11, a 12, e por a=ED = adiante at=E9 =E0=20 porta 19. A probabilidade de uma porta escolhida ao acaso = come=E7ar pelo=20 d=EDgito 1 =E9 de 11/50 ou 22%. Em contrapartida, haver=E1 apenas = uma porta que=20 come=E7a com o d=EDgito 9, =E9 a porta 9. A probabilidade de uma = porta come=E7ar=20 por esse d=EDgito =E9 de 1/50, apenas 2%.=20

Se repararmos bem, para qualquer dos nove d=EDgitos ter a mesma = probabilidade de ocorr=EAncia no in=EDcio do n=FAmero =E9 preciso = que a rua tenha=20 exactamente 9 casas, ou 99, ou 999... Casos certamente raros. Em = todas as=20 outras circunst=E2ncias, os d=EDgitos mais elevados s=E3o = desfavorecidos e os=20 menos elevados aparecem com maior frequ=EAncia.=20

Um outro exemplo evidente =E9 fornecido pelas taxas de = crescimento. Pense=20 num =EDndice bolsista, por exemplo, ou num =EDndice de pre=E7os, = ou num =EDndice=20 de produ=E7=E3o. Quando o =EDndice foi constru=EDdo, come=E7ava em = 100 (tamb=E9m=20 poderia come=E7ar noutro n=FAmero, que o problema seria o mesmo). = Ora este=20 tipo de =EDndices tem tend=EAncia a crescer. Suponhamos que a taxa = de=20 crescimento =E9 constante e que o valor do =EDndice duplica todos = os anos.=20 Durante um ano, o =EDndice mant=E9m-se nos cento e tal. No = in=EDcio do segundo=20 ano, o =EDndice atinge o valor 200, no in=EDcio do terceiro, 400, = e assim por=20 diante. O d=EDgito 1 encabe=E7a o =EDndice durante doze meses. = J=E1 os d=EDgitos 2 e=20 3 aparecem =E0 cabe=E7a do =EDndice durante cerca de seis meses = cada um. Quando=20 se chega ao d=EDgito 9, o seu reino =E9 de cerca de um m=EAs! =C9 = f=E1cil perceber=20 que, escolhendo uma data ao acaso, o mais prov=E1vel =E9 encontrar = um d=EDgito=20 baixo a liderar o =EDndice. Aposte que =E9 menor do que 4 e ver=E1 = que ganha=20 60,2% das apostas.=20

Este caso =E9 particularmente significativo, pois mostra que = n=E3o =E9 a=20 linearidade mas sim um comportamento de tipo exponencial que = domina muitos=20 fen=F3menos, tanto naturais como sociais. A anomalia dos primeiros = d=EDgitos=20 reflecte esse facto.=20

Frank Benford percebeu-o e formulou aquilo a que chamou a Lei = dos=20 N=FAmeros An=F3malos, mais conhecida hoje como a Lei de Benford. = Esquecida=20 durante muitos anos, esta lei est=E1 de novo a despertar interesse = entre=20 matem=E1ticos e estat=EDsticos. Como muitas vezes acontece em = matem=E1tica, s=F3=20 anos mais tarde se v=EA a aplicabilidade e relev=E2ncia de alguns = resultados.=20 Neste caso, a Lei de Benford come=E7a a ver aplica=E7=F5es num = dom=EDnio=20 surpreendente: a detec=E7=E3o de fraude fiscal.=20

Mark Nigrini, um contabilista com forma=E7=E3o estat=EDstica, = que trabalhou=20 em Nova Iorque e no Kansas, e que =E9 agora professor em Dallas, = construiu=20 recentemente um m=E9todo de an=E1lise das declara=E7=F5es de = impostos, em que=20 procura as ocorr=EAncias dos primeiros d=EDgitos significativos.=20

Quem falsifica sistematicamente uma declara=E7=E3o de impostos = introduzindo=20 despesas inexistentes, procura introduzir n=FAmeros que pare=E7am = o mais=20 casuais poss=EDveis. Os fiscais poder=E3o suspeitar, por exemplo, = se em cada=20 viagem de neg=F3cios, o sujeito da declara=E7=E3o despender = exactamente a mesma=20 quantia. Ora os falsificadores mais apurados tentam construir = n=FAmeros o=20 mais uniformemente aleat=F3rios que lhes =E9 poss=EDvel, tanto = come=E7ados com um=20 9 como com um 1, de forma a n=E3o levantar suspeitas.=20

=C9 aqui que a nova t=E9cnica de Mark Nigrini entra em = ac=E7=E3o. Muitos dos=20 testes que construiu s=E3o simples, limitam-se a contar as = ocorr=EAncias dos=20 primeiros d=EDgitos. Alguns s=E3o mais complicados e =E9 pouco = prov=E1vel que a=20 t=E9cnica venha a ser completamente divulgada. Nigrini quer vender = os seus=20 servi=E7os e a revela=E7=E3o total do segredo n=E3o est=E1 nos = seus planos.=20

E, se o leitor est=E1 a pensar na Lei de Benford para = aben=E7oar a sua=20 sorte na lotaria, desengane-se. A distribui=E7=E3o dos n=FAmeros = das cautelas =E9=20 uniforme, n=E3o segue a Lei de Benford. Mas j=E1 n=E3o =E9 mau = ganhar apostas com=20 os seus amigos.=20

Textos de NUNO CRATO

A lei de Benford=20

GR=C1FICO de barras = compara a=20 frequ=EAncia dos primeiros d=EDgitos significativos prevista = pela Lei de=20 Benford com a observada nas primeiras p=E1ginas dos jornais = e com a=20 registada no =EDndice bolsista Dow Jones. H=E1 um grande = ajustamento=20 entre o previsto e o observado.
Segundo a Lei de Benford, = a=20 probabilidade de cada d=EDgito primeiro, k, n=E3o =E9 1/9 e = sim o=20 logaritmo na base 10 da quantidade (k+1)/k. Assim, a = probabilidade=20 de 1 ser o primeiro d=EDgito significativo =E9 30,1%, = enquanto a=20 probabilidade de encontrar o 9 nesse lugar =E9 apenas de = 4,6%.
O=20 logaritmo =E9 um expoente e qualquer n=FAmero positivo pode = ser expresso=20 como um expoente de uma base determinada. O n=FAmero 1000 = =E9 dez ao=20 cubo, pelo que o seu logaritmo na base 10 =E9 3.=20

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