EXPRESSO - Os limites da matem=E1tica

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CI=CANCIA =

Os=20 limites da matem=E1tica

Gregory Chaitin nunca acabou a=20 Universidade. Mas =E9 um matem=E1tico prodigioso. Com apenas 15 = anos come=E7ou a=20 demonstrar teoremas revolucion=E1rios.

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3D"Sobre "=20 src=3D"http://primeirasedicoes.expresso.pt/imgs/icon_sobre.gif" = width=3D100=20 border=3D0>

Gregory=20 Chaitin, em sua casa: =ABO que eu descobri foi que h=E1 = verdades=20 matem=E1ticas que s=E3o verdades sem nenhum motivo. N=E3o = podem ser=20 provadas, porque n=E3o h=E1 estrutura por detr=E1s delas=BB=20

GREGORY = Chaitin fala=20 depressa. Muito depressa, mesmo. Conversar com este matem=E1tico = =E9 um=20 exerc=EDcio, uma corrida para lhe apanhar as palavras. Na sua = atitude calma,=20 no seu gosto pela vida e no seu humor transparece toda a sua = viv=EAncia=20 sul-americana - a nossa conversa come=E7ou num restaurante indiano = e=20 continuou em sua casa, acompanhada de um vinho do Porto velho. = Mas, ao=20 ouvi-lo falar de matem=E1tica, percebe-se por que raz=E3o =E9 que = este homem=20 est=E1 t=E3o =E0 vontade em Nova Iorque e no centro Watson da IBM, = um dos=20 centros de investiga=E7=E3o mais activos de todo o mundo - a sua = cabe=E7a=20 fervilha com ideias e projectos. E =E9 com uma paix=E3o quase = infantil que nos=20 conta a sua hist=F3ria.=20

=ABQuando era jovem comecei por me interessar por f=EDsica e = por=20 astronomia=BB, diz Chaitin. =ABA relatividade, a teoria dos = quanta, a=20 cosmologia, o Big Bang... tudo isso me parecia ser o que h=E1 de = mais=20 fascinante. Era na altura muito novo, deveria ter os meus 10 ou 11 = anos.=20 Mas comecei tamb=E9m a interessar-me por matem=E1tica. Para = estudar ci=EAncia =E9=20 preciso come=E7ar pela matem=E1tica. E, em matem=E1tica, o mais = profundo parecia=20 ser essa hist=F3ria misteriosa dos teoremas da incompletude - isto = =E9, a=20 matem=E1tica a estudar as suas pr=F3prias limita=E7=F5es...=BB =

EXPRESSO - Foi a partir da=ED que come=E7ou a trabalhar em = torno dos=20 limites da matem=E1tica?=20

GREGORY CHAITIN - =C9 verdade, a minha ideia fundamental = surgiu-me=20 quando tinha 15 anos. Foi num exame... num exame na Universidade = de=20 Columbia para estudantes de liceu excepcionais. No Ver=E3o, ap=F3s = acabar o=20 liceu, demonstrei alguns resultados ligando a incompletude com a=20 aleatoriedade. No Ver=E3o seguinte, estava j=E1 na Universidade, o = City=20 College, de Nova Iorque, e terminei o meu primeiro artigo = cient=EDfico.=20

EXP. - E que idade =E9 que tinha nessa altura?=20

G.C. - Quando submeti o artigo tinha 18 anos. Quando o = trabalho=20 saiu, um ano depois, j=E1 tinha 19.=20

EXP. - E esses temas eram discutidos no Liceu e na = Universidade?=20

G.C. - N=E3o, de maneira nenhuma! Mas no Liceu, em vez de = me divertir=20 e de andar atr=E1s das raparigas - s=F3 mais tarde =E9 que = recuperei o tempo=20 perdido -, devorava livros de matem=E1tica e de f=EDsica e de = ci=EAncia... Era=20 uma crian=E7a excepcional. Estudei =E1lgebra e an=E1lise por mim = pr=F3prio,=20 estudei a Teoria da Relatividade, estudei G=F6del quando tinha 12 = ou 13=20 anos... Andava fascinado com G=F6del... Tinha milh=F5es de = projectos, andava=20 com a minha sacola cheia de livros, sempre a ler, empenhado a toda = a hora=20 com os meus projectos de investiga=E7=E3o. Sempre fiz = investiga=E7=E3o, comecei a=20 fazer investiga=E7=E3o aos 10 anos. Sou um autodidacta.=20

EXP. - E como era o ambiente intelectual em que vivia?=20

G.C. - Nova Iorque era muito estimulante, havia =F3ptimas=20 bibliotecas... E eu assistia a aulas interessant=EDssimas, tinha = colegas=20 brilhantes... Foi a altura do Sputnik. Toda a gente estava = assustada com o=20 avan=E7o dos sovi=E9ticos. Criaram-se classes especiais em = ci=EAncia, classes=20 avan=E7adas para os melhores alunos, escolas especiais. E eu tomei = parte=20 nisso, tirava sempre as cadeiras mais avan=E7adas e mais = interessantes. Foi=20 magn=EDfico. Acabei por estar apenas um ano na Universidade. Nunca = acabei a=20 Universidade, pois passei os dez anos seguintes em Buenos Aires, = como=20 programador, antes de ter ido para o sector de investiga=E7=E3o da = IBM. O=20 diploma que tenho ganhei-o mais tarde, =E9 um doutoramento = honor=EDfico.=20

EXP. - Voltando ao seu trabalho, como =E9 que o situa na = evolu=E7=E3o das=20 ideias matem=E1ticas?=20

G.C. - Desde Plat=E3o e Euclides, passando por Leibniz, = Boole,=20 Hilbert, Peano, Russell e outros, a tend=EAncia da matem=E1tica = tem sido=20 sempre a de se tornar mais formal, percebendo cada vez melhor = todos os=20 pequenos passos de uma demonstra=E7=E3o, indo assim na = direc=E7=E3o da l=F3gica. A=20 certa altura, acreditava-se que se podia obter um sistema = completamente=20 formalizado. Em princ=EDpio, poder-se-ia, de uma vez por todas, = assentar em=20 todos os axiomas e em todo um conjunto de regras, como que uma = gram=E1tica -=20 de tal forma que verificar uma demonstra=E7=E3o seria quase = autom=E1tico.=20

EXP. - Chegou-se a=20 acreditar que esse objectivo estava perto?=20

G.C. - Sim, de facto Hilbert chegou a pensar que o ia = conseguir,=20 que chegaria =E0 axiomatiza=E7=E3o perfeita. O que h=E1 de = interessante em Hilbert=20 =E9 que ele levantou as quest=F5es certas. Disse que ia colocar = toda a=20 matem=E1tica num conjunto de axiomas, e que esse conjunto deveria = ser=20 consistente e completo. E que deveria, portanto, haver um = procedimento=20 mec=E2nico de decis=E3o que resolvesse qualquer problema = matem=E1tico. =C9 o=20 c=E9lebre =ABEntscheidungsproblem=BB. G=F6del reagiu a isto, e = mais tarde Turing=20 tamb=E9m. Mas fizeram-no respondendo =E0s quest=F5es colocadas por = Hilbert. S=F3=20 que a resposta foi contr=E1ria ao que este esperava.=20

EXP. - E como reagiu Hilbert aos resultados de G=F6del?=20

G.C. - Hilbert estava no fim da sua vida, e a guerra = aproximava-se.=20 G=F6del tinha na altura 25 anos. N=E3o creio que alguma vez = tivessem falado um=20 com o outro. Um pouco mais tarde, Turing voltou ao problema num = contexto=20 mais geral, num contexto de teoria da computa=E7=E3o.=20

EXP. - N=E3o acha que =E9 estranho que estes problemas sejam = discutidos=20 em ci=EAncias da computa=E7=E3o, que parecem estar muito distantes = das=20 matem=E1ticas puras?=20

G.C. - Ah! Fico muito contente por me colocar essa = quest=E3o... =C9 que=20 n=E3o =E9 nenhum exagero dizer que o computador foi inventado por = Alan Turing,=20 nos anos 30, para clarificar um problema na filosofia da = matem=E1tica!=20

EXP. - Mas a m=E1quina de Turing =E9 um computador = abstracto...=20

G.C. - Sim, =E9 um computador abstracto, mas equivalente a = um=20 computador convencional. Existia apenas no papel e na cabe=E7a de = Turing,=20 num artigo que este escreveu em 1936. Um artigo magn=EDfico, que = li e reli=20 muitas vezes. A resposta de Turing ao =ABEntscheidungsproblem=BB = foi negativa,=20 mostrou que n=E3o havia nenhum procedimento mec=E2nico para = decidir se um=20 programa computacional alguma vez pararia. O que =E9 o mesmo que = dizer se o=20 programa resolveria o problema. Todo o meu trabalho roda em torno = desta=20 quest=E3o, mas discutindo a probabilidade de paragem e n=E3o o = problema da=20 paragem.=20

EXP. - Isso quer dizer que a teoria da computa=E7=E3o est=E1 = muito perto=20 das matem=E1ticas puras e da l=F3gica...=20

G.C. - Exactamente! A teoria da computa=E7=E3o come=E7ou = como l=F3gica. A=20 l=F3gica estava =E0 procura de procedimentos autom=E1ticos, de = encontrar=20 verdades matem=E1ticas com uma linguagem universal. Ora isso =E9 = imposs=EDvel,=20 como o mostrou G=F6del, como o mostrou Turing e como o mostra, = ainda com=20 mais generalidade, o meu trabalho. Mas o que se descobriu ent=E3o = =E9 que se=20 pode ter uma linguagem universal para a computa=E7=E3o... n=E3o = para o=20 racioc=EDnio, mas para a computa=E7=E3o. O sonho dos l=F3gicos do = princ=EDpio do=20 s=E9culo transformou-se numa realidade diferente, a realidade da = computa=E7=E3o,=20 que =E9 o maior sucesso dos dias de hoje.=20

EXP. - E qual foi a sua abordagem em rela=E7=E3o ao problema = dos limites=20 da matem=E1tica?=20

G.C. - O que eu fiz foi medir a informa=E7=E3o... a = informa=E7=E3o contida=20 nos axiomas e a informa=E7=E3o contida nos teoremas. As quest=F5es = que coloquei=20 foram completamente diferentes. Porque =E9 que - perguntava eu -, = por vezes,=20 n=E3o =E9 poss=EDvel provar certos enunciados, apesar do esfor=E7o = de gera=E7=F5es e=20 gera=E7=F5es de matem=E1ticos? N=E3o ser=E1, afinal, porque a = pr=F3pria matem=E1tica tem=20 resultados aleat=F3rios, tal como a f=EDsica? N=E3o ser=E1 porque = aquilo que G=F6del=20 descobriu - que o racioc=EDnio matem=E1tico tem limites - =E9 = equivalente a=20 dizer que algumas verdades matem=E1ticas s=E3o aleat=F3rias, n=E3o = t=EAm estrutura?=20 N=E3o ser=E1 porque, por vezes, n=E3o h=E1 nenhum padr=E3o, = nenhuma lei para ser=20 descoberta? Habitualmente, pensa-se que, se algo =E9 verdade, =E9 = verdade por=20 uma raz=E3o. Como se chama isso? =C9 o princ=EDpio da raz=E3o = suficiente de=20 Leibniz? N=E3o sei, n=E3o sou fil=F3sofo... De qualquer maneira, = em matem=E1tica,=20 descobrir a raz=E3o de alguma coisa chama-se demonstr=E1-la. E a = tarefa do=20 matem=E1tico =E9 descobrir a raz=E3o da verdade, encontrar a = demonstra=E7=E3o. Ora o=20 que eu descobri foi que h=E1 verdades matem=E1ticas - mesmo em = teoria dos=20 n=FAmeros, tendo a ver apenas com a adi=E7=E3o e multiplica=E7=E3o = de 0, 1, 2, 3, 4,=20 5... - que s=E3o verdades sem nenhum motivo, s=E3o verdades sim, = mas por=20 acaso, por acidente, e por isso escapam ao poder da raz=E3o. N=E3o = podem ser=20 provadas, pois n=E3o h=E1 estrutura por detr=E1s dessas verdades.=20

=ABN=E3o sou=20 um carniceiro, n=E3o reduzo a matem=E1tica =E0 f=EDsica. A = oposi=E7=E3o absoluta=20 que se tem tra=E7ado entre as duas =E1reas n=E3o tem = sentido. A matem=E1tica=20 n=E3o =E9 apenas feita de certezas=BB=20

EXP. - Mas, = ent=E3o, isso=20 n=E3o depende dos axiomas?=20

G.C. - =C9 claro que depende dos axiomas, e tudo se pode = =ABdemonstrar=BB=20 se o incluirmos nos axiomas... Mas eu constru=ED um objecto = matem=E1tico, um=20 n=FAmero real, a que chamo =D3mega...=20

EXP. - Trata-se do =ABc=E9lebre=BB n=FAmero de Chaitin?=20

G.C. - Sim, h=E1 quem lhe chame assim. Esse n=FAmero, que = corresponde =E0=20 probabilidade de paragem, n=E3o pode ser calculado. Os seus = d=EDgitos s=E3o=20 imposs=EDveis de conhecer, no essencial. Basicamente, com n = d=EDgitos de=20 axiomas consegue-se obter n d=EDgitos desse n=FAmero. Trata-se de = um n=FAmero=20 t=E3o complicado que escapa a qualquer sistema de axiomas. A = =FAnica maneira=20 de o obter a partir de axiomas =E9=85 inclu=ED-lo nos axiomas.=20

EXP. - Isso n=E3o corresponde =E0 sua defini=E7=E3o de = aleatoriedade?=20

G.C. - =C9 verdade, cada um dos d=EDgitos deste n=FAmero - = ou cada bit,=20 como se preferir - aparece como que por acaso, sem estrutura. O = racioc=EDnio=20 =E9 impotente na tentativa de encontrar um padr=E3o... Trata-se de = um objecto=20 matem=E1tico perfeitamente definido e determinado, mas =E9 = imposs=EDvel=20 calcul=E1-lo d=EDgito a d=EDgito, apesar de cada d=EDgito ter um = valor=20 perfeitamente definido.=20

EXP. - Imagino que deva haver muitos matem=E1ticos que achem = estranho=20 o seu trabalho...=20

G.C. - Os matem=E1ticos puros consideram por vezes o que eu = digo como=20 incompreens=EDvel ou, pelo menos, como de =ABmau gosto=BB. Ora eu = sou um=20 matem=E1tico, adoro a matem=E1tica, trabalho na tradi=E7=E3o = matem=E1tica, construo=20 demonstra=E7=F5es. O que fa=E7o =E9 um auto-exame, um estudo da = pot=EAncia do=20 racioc=EDnio matem=E1tico, utilizando m=E9todos matem=E1ticos.=20

EXP. - Embora pense que a matem=E1tica muitas vezes adopta = uma atitude=20 quase emp=EDrica...=20

G.C. - Julgo que a matem=E1tica tem de ser feita um pouco = como a=20 f=EDsica - =E9 preciso avan=E7ar novos axiomas. G=F6del disse isso = v=E1rias vezes,=20 tal como o pr=F3prio Russell. Einstein, um f=EDsico, e G=F6del, um = matem=E1tico,=20 que eram grandes amigos em Princeton, acabavam por ter uma vis=E3o = parecida.=20 Einstein dizia que toda a matem=E1tica, come=E7ando pelos = pr=F3prios n=FAmeros=20 naturais, tem origens emp=EDricas e que n=F3s inventamos os = n=FAmeros tal como=20 inventamos os conceitos da f=EDsica; o importante =E9 que a = constru=E7=E3o te=F3rica=20 funcione. =C9 uma vis=E3o muito emp=EDrica de um f=EDsico. A = posi=E7=E3o de partida de=20 G=F6del =E9 oposta. Tal como a maioria dos matem=E1ticos, ele = n=E3o se questiona=20 sobre onde existem os n=FAmeros, onde existem os conceitos = matem=E1ticos. E eu=20 tamb=E9m fa=E7o matem=E1tica da mesma maneira. G=F6del tem a = vis=E3o tradicional.=20 Mas o que diz =E9 que, se os n=FAmeros s=E3o t=E3o reais como as = mesas e as=20 cadeiras e os electr=F5es e os prot=F5es, ent=E3o para descobrir = as propriedades=20 do mundo matem=E1tico podem-se utilizar os mesmos m=E9todos que os = cientistas=20 usam para descobrir as propriedades do mundo f=EDsico. Acabam = ambos por=20 afirmar que se pode trabalhar empiricamente em matem=E1tica e = avan=E7ar novos=20 postulados =E0 medida que isso se torna necess=E1rio. Essa =E9 a = minha=20 conclus=E3o, pois o meu trabalho mostra que para ir mais longe =E9 = necess=E1rio=20 assumir mais.=20

EXP. - Muitos matem=E1ticos poder=E3o dizer que isso n=E3o = =E9 importante,=20 pois, de uma maneira ou de outra, a constru=E7=E3o matem=E1tica = far-se-=E1 sempre=20 da mesma maneira...=20

G.C. - N=E3o julgo que isso seja verdade. H=E1 j=E1 = v=E1rias =E1reas em que=20 se est=E1 a construir a matem=E1tica de acordo com esta vis=E3o = quase emp=EDrica.=20 Por exemplo, em teoria da computa=E7=E3o admite-se que h=E1 os = chamados=20 problemas =ABduros=BB, problemas de tal complexidade que os custos = dos=20 algoritmos s=E3o =ABn=E3o polinomiais=BB, s=E3o exponenciais. Ora = ningu=E9m at=E9 hoje=20 conseguiu demonstrar que isso =E9 verdade. E =E9 sempre = poss=EDvel, para cada=20 problema, que apare=E7a mais tarde um algoritmo mais eficiente, de = complexidade n=E3o exponencial. Mas os te=F3ricos admitem que haja = problemas=20 =ABduros=BB. Isso transformou-se num novo postulado por raz=F5es = emp=EDricas. O=20 mesmo se passa em criptografia, por exemplo, em que se acrescentou = como=20 axioma que a factoriza=E7=E3o em n=FAmeros primos =E9 um problema = =ABduro=BB. Tamb=E9m=20 nunca ningu=E9m o demonstrou, mas toda a gente o aceita.=20

EXP. - Isso n=E3o ser=E1, simplesmente, uma hip=F3tese de = trabalho?=20

G.C. - Sim, sem d=FAvida, mas =E9 uma hip=F3tese de = trabalho que se=20 utiliza j=E1 h=E1 muito tempo. Na realidade, n=E3o =E9 isso um = axioma? Mas,=20 chame-se-lhe o que se quiser chamar, a realidade =E9 que se est=E1 = a proceder=20 exactamente como os f=EDsicos quando investigam o Universo. Eu sou = um=20 matem=E1tico e n=E3o um f=EDsico. N=E3o sou um carniceiro, n=E3o = quero reduzir a=20 matem=E1tica =E0 f=EDsica. Mas a oposi=E7=E3o absoluta que se tem = tra=E7ado n=E3o tem=20 raz=E3o de ser. N=E3o h=E1 uma matem=E1tica puramente formal, por = um lado, e, por=20 outro, uma f=EDsica essencialmente emp=EDrica. Trata-se de uma = quest=E3o de=20 grau. No fundo, o que digo =E9 que tamb=E9m a matem=E1tica n=E3o = =E9 puramente=20 constru=EDda por certezas absolutas. =ABThat's all!=BB...=20

Texto de NUNO CRATO

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Os limites da = matem=E1tica=20
A queda do reducionismo "=20 src=3D"http://primeirasedicoes.expresso.pt/imgs/setinha.gif" = width=3D16=20 border=3D0>

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