25.04.2003
Passeio Aleatório
A conjectura do donut

A topologia, diz-se, é o ramo da matemática que confunde uma chávena com um «donut», mas sabe distinguir um «donut» de uma esfera. Trata-se de uma graça, é claro, mas de uma graça que revela um problema interessante. Imaginemos um ser a duas dimensões que viva sobre uma das superfícies. Como poderá ele saber se está sobre uma esfera ou sobre um «donut»?

Imagine-se que ele tem um elástico em argola, como os elásticos usados para segurar rolos de papel, mas feito de material infinitamente moldável. Imagine-se que coloca o elástico à volta da esfera, onde vive. Se o deformar, sem nunca perder o contacto com a superfície, pode tornar o comprimento do elástico tão pequeno quanto se queira. No limite, pode reduzi-lo a um ponto, sem o partir, sem deformar a esfera e sem nunca abandonar a superfície.

Imagine-se agora que o nosso ser vive num «donut», onde tenta fazer o mesmo. Consegui-lo-á, qualquer que seja a posição inicial do elástico? É fácil ver que não. Se o elástico for, à partida, colocado abraçando a argola do «donut» e passando pelo buraco do centro, o ser bidimensional não consegue reduzi-lo a um ponto sem cortar o «donut», ou seja, sem alterar as suas propriedades topológicas. O mesmo acontece se o elástico for colocado sobre o «donut», acompanhando a volta que este dá.

O matemático francês Henri Poincaré (1854-1912) viu que esta propriedade distinguia as superfícies do «donut» e da esfera e que esta última, tal como outras que lhe são redutíveis por deformações contínuas, é a única superfície em que um elástico colocado em qualquer lugar se pode reduzir a um ponto.

Poincaré imaginou que esta propriedade se poderia estender a dimensões mais elevadas. Se a superfície da esfera é um objecto de dimensão dois embebida num espaço a três dimensões, que se passaria com hipersuperfícies esféricas de dimensão três? Estes objectos são difíceis de imaginar, mas têm grande interesse matemático e físico.

A conjectura de Poincaré tornou-se célebre e foram feitas muitas tentativas para a provar. Finalmente, em 1960, o matemático norte-americano Stephen Smale conseguiu demonstrá-la para superfícies esféricas de dimensão cinco ou superiores. Em 1981 outro norte-americano, Michael Freedman, conseguir demonstrar a veracidade da conjectura de Poincaré para a dimensão quatro. Em reconhecimento desses trabalhos, os dois matemáticos receberam a medalha Fields, o equivalente ao Nobel da Matemática.

Faltava, contudo, provar a conjectura de Poincaré para a dimensão três. O problema é considerado tão difícil e importante que foi listado como um dos grandes desafios matemáticos do início do novo milénio. O Instituto Clay inclui-o na lista dos sete maiores problemas ainda não resolvidos e colocou a sua cabeça a prémio. Quem provar a conjectura de Poincaré para a dimensão três receberá um milhão de dólares.

O progresso tem sido difícil, apesar das tentativas porfiadas de alguns dos maiores matemáticos do planeta. Há dias, contudo, o russo Grigori Perelman deu uma conferência no Massachusetts Institute of Technology descrevendo uma demonstração da célebre conjectura. Ainda não é possível ter certezas. Não seria a primeira vez que uma demonstração é anunciada para depois se verificar ter lacunas. No entanto, todos os matemáticos que tiveram contacto com o trabalho de Perelman não conseguiram encontrar falhas no raciocínio.

Ao que parece, um dos grandes problemas da matemática, velho de um século, está prestes a sucumbir ao poder do raciocínio humano.

Nuno Crato