EXPRESSO - Pedro Nunes, Mercator e Escher

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CI=CANCIA =

Pedro Nunes, Mercator e Escher =

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No s=E9culo XVI, o = cosm=F3grafo=20 real Pedro Nunes descobriu a =ABlinha de rumo=BB e explicou que a = dist=E2ncia=20 m=EDnima a percorrer por um barco entre dois pontos da Terra n=E3o = =E9 uma linha=20 recta, mas um arco. Escher representou esta ideia 300 anos = depois=20

QUEM viaja de Lisboa=20 para Nova Iorque costuma aproximar-se da costa norte-americana = pelo menos=20 uma hora antes da chegada ao destino. Nessa hora, observa a costa=20 recortada do Estado do Massachusetts, a ilha Martha's Vineyard e = outros=20 destinos tur=EDsticos. Sobrevoa depois Long Island e as suas = praias,=20 viajando de norte para sul em direc=E7=E3o =E0 cidade de Nova = Iorque. Olhando=20 para o mapa, parece que o avi=E3o fez um grande desvio e que, em = vez de voar=20 a direito sobre o Atl=E2ntico, preferiu encontrar o Novo Mundo a = norte, onde=20 pela primeira vez os portugueses o abordaram, e descer depois para = o seu=20 destino.=20

Quem olhar para um globo, no entanto, repara que ter=E1 viajado = pelo=20 caminho mais curto, que corresponde a um arco de c=EDrculo = m=E1ximo, isto =E9,=20 um arco de um c=EDrculo que cont=E9m os pontos de partida e de = chegada e que=20 tem o centro no centro da Terra. Esticando um el=E1stico sobre o = globo e=20 fazendo-o passar por Lisboa e por Nova Iorque, verifica-se que o = caminho=20 mais curto entre as duas cidades bordeja de facto a costa do=20 Massachusetts. Quer dizer, para seguir o caminho mais curto entre = dois=20 pontos de latitude muito semelhante - 39 graus para Lisboa e 41 = para Nova=20 Iorque -, o avi=E3o come=E7a por voar para oeste e um pouco para = norte e acaba=20 por fazer um trajecto para oeste e um pouco para sul.=20

Tudo isto pode parecer simples e evidente, mas demorou muito = tempo a=20 que os navegadores o entendessem. O primeiro a perceb=EA-lo em = toda a sua=20 extens=E3o foi o nosso Pedro Nunes (1502-1579).=20

O cosm=F3grafo real deparou-se de facto, com o problema = inverso, que =E9 um=20 problema mais dif=EDcil: ser=E1 que, para se viajar entre dois = pontos, =E9=20 conveniente tomar sempre a mesma direc=E7=E3o? O problema foi-lhe = sugerido por=20 Martim Afonso de Sousa, fundador das primeiras col=F3nias que = Portugal teve=20 no Brasil. Querendo vir do Rio da Prata para Lisboa, verificou que = deslocar-se para leste n=E3o bastava e que precisava de se = deslocar tamb=E9m=20 para norte. Mais importante, n=E3o era f=E1cil perceber qual era a = direc=E7=E3o=20 exacta em que deveria viajar.=20

O g=E9nio de Pedro Nunes consiste em ter distinguido claramente = duas=20 poss=EDveis traject=F3rias para um barco no mar alto. Uma seria a = traject=F3ria=20 de dist=E2ncia m=EDnima entre dois pontos, correspondendo a um = arco de c=EDrculo=20 m=E1ximo - =E9 a chamada ortodromia. Outra, seria a traject=F3ria = seguida por um=20 barco que mantivesse sempre a mesma orienta=E7=E3o em rela=E7=E3o = aos pontos=20 cardeais - =E9 a chamada linha de rumo, mais tarde conhecida como=20 loxodromia. S=F3 em casos muito especiais =E9 que as duas = traject=F3rias=20 coincidem: quando se viaja ao longo do Equador, de leste para = oeste ou de=20 oeste para leste, ou quando se viaja ao longo de um meridiano, de = norte=20 para sul ou de sul para norte. Em todos os outros casos, as duas=20 traject=F3rias n=E3o coincidem. Para seguir a traject=F3ria = m=EDnima entre Lisboa=20 e Nova Iorque, os avi=F5es n=E3o seguem uma linha de rumo, mudam=20 constantemente de orienta=E7=E3o cardeal, para poderem seguir um = arco de=20 c=EDrculo m=E1ximo.=20

Ao descobrir a linha de rumo, Pedro Nunes provou tamb=E9m que = um barco=20 que, hipoteticamente, num planeta completamente coberto de =E1gua, = seguisse=20 sempre uma mesma direc=E7=E3o cardeal, acabaria por n=E3o = regressar ao mesmo=20 lugar, como na altura se pensava, mas seguiria uma espiral = infinita,=20 aproximando-se de um dos p=F3los, mas nunca o alcan=E7ando.=20

Os = desenhos mais=20 espectaculares de espirais loxodr=F3micas s=E3o, sem d=FAvida, os = de Mauritus=20 Cornelius Escher (1898-1972), o artista holand=EAs de quem temos = vindo a=20 falar, a pretexto da comemora=E7=E3o do seu centen=E1rio. Em 1958, = Escher criou=20 alguns desenhos de esferas com espirais, ao que parece sem = consci=EAncia do=20 seu profundo significado hist=F3rico e geom=E9trico. A gravura que = aqui=20 reproduzimos chama-se =ABBolspiralen=BB, espirais esf=E9ricas, e = =E9 um dos seus=20 mais belos exemplos. Trata-se de uma gravura de madeira em quatro = blocos,=20 cada um para sua cor, com 32 cm de di=E2metro. Podemos imaginar um = barco que=20 decida seguir sempre um rumo a um =E2ngulo de cerca de 60 graus = com a=20 direc=E7=E3o norte-sul. As espirais mostram o caminho seguido por = tal barco. E=20 mostram que o barco pode partir de s=EDtios diferentes, que a sua=20 traject=F3ria convergir=E1. As faixas s=E3o mais largas perto do = Equador e=20 tornam-se mais estreitas perto dos p=F3los.=20

Al=E9m de mostrar aos navegadores o caminho que se segue quando = se toma=20 um rumo cardeal constante, as loxodr=F3micas de Pedro Nunes = tiveram um=20 efeito decisivo na nossa vis=E3o do mundo, pois determinaram a = maneira como=20 os mapas come=E7aram a ser feitos e criaram a vis=E3o que hoje = temos dos=20 continentes. O nosso matem=E1tico teve a intui=E7=E3o de que os = antigos mapas=20 portulanos tinham de ser refeitos, mas foi Gerardus Mercator = (1512-1594)=20 quem haveria de originar uma revolu=E7=E3o em cartografia, com = base na=20 descoberta de Pedro Nunes.=20

Mercator nasceu na Flandres, em Rupelmonte, que =E9 hoje uma = cidade=20 belga. Foi baptizado Gerard de Cremere mas adoptou mais tarde uma = vers=E3o=20 latinizada do seu nome. Estudou primeiro na Holanda e depois em = Lovaina,=20 onde se fixou e dedicou =E0 constru=E7=E3o de globos e mapas.=20

O grande problema da constru=E7=E3o de mapas planos =E9 o = aparecimento de=20 deforma=E7=F5es inevit=E1veis. Tal como ao calcar uma casca de = laranja sobre uma=20 mesa, esta se fractura e deforma, assim os fazedores de mapas = t=EAm de=20 deformar a geometria do globo para poder reproduzir no plano uma=20 superf=EDcie esf=E9rica. As deforma=E7=F5es n=E3o s=E3o graves = quando se trata de=20 =E1reas reduzidas. Mas o mundo tinha-se tornado maior com as = viagens dos=20 Descobrimentos e come=E7avam a fazer-se mapas de continentes e = oceanos, que=20 eram necess=E1rios para as navega=E7=F5es.=20

Mercator, que conhecia os resultados de Pedro Nunes, resolveu = construir=20 um mapa que servisse directamente os navegadores. Como primeiro = princ=EDpio=20 decidiu que o mapa teria uma rede, em que as linhas de igual = latitude=20 seriam todas paralelas ao Equador e perpendiculares aos = meridianos, e em=20 que os meridianos seriam todos paralelos entre si. Como segundo = princ=EDpio,=20 Mercator decidiu que as linhas de rumo apareceriam como rectas, = para o que=20 aumentou progressivamente as dist=E2ncias entre os paralelos =E0 = medida que a=20 latitude se aproxima dos p=F3los. Assim nasceu a chamada = projec=E7=E3o de=20 Mercator, ainda hoje a mais conhecida e mais utilizada.=20

O mapa de Mercator =E9 o que se chama um mapa conforme, pois = preserva a=20 direc=E7=E3o entre quaisquer dois pontos do globo. Mas o mapa de = Mercator=20 introduz distor=E7=F5es inevit=E1veis, que moldaram a nossa = intui=E7=E3o geogr=E1fica.=20 Nesse mapa, a Gronel=E2ndia parece enorme, maior que a Am=E9rica = do Sul,=20 quando, afinal, esta tem uma =E1rea nove vezes maior. E o mapa = engana tamb=E9m=20 os viajantes modernos, que ainda hoje se espantam com os caminhos = que os=20 avi=F5es seguem.=20

Texto de NUNO CRATO

Leituras = complementares=20

A DESCOBERTA da=20 curva loxodr=F3mica por Pedro Nunes e a aplica=E7=E3o dessa = descoberta por=20 Mercator est=E3o tratadas no livro de Eli Maor, = Trigonometric=20 Delights, publicado em 1998 pela Princeton University = Press.=20 Este livro trata de muitas outras aplica=E7=F5es de = resultados da=20 trigonometria. Contando a hist=F3ria dessas aplica=E7=F5es, = Eli Maor=20 mostra que a trigonometria =E9 um maravilhoso testamento de = milhares=20 de anos de engenho e criatividade.
A discuss=E3o = pormenorizada dos=20 trabalhos e resultados de Pedro Nunes ocupa v=E1rias dezenas = de=20 p=E1ginas na Hist=F3ria das Matem=E1ticas em = Portugal, de Francisco=20 Gomes Teixeira.

Este escrito do=20 que foi, indubitavelmente, o maior matem=E1tico portugu=EAs = da segunda=20 metade do s=E9culo XIX e do dobrar do s=E9culo, est=E1 h=E1 = muito esgotado.=20 Mas o professor Jaime Carvalho e Silva, da Universidade de = Coimbra,=20 disponibiliza esse texto em forma digital na sua p=E1gina de = hist=F3ria=20 da matem=E1tica. O texto pode ser consultado directamente em = www.mat.uc.pt/~jaimec= s/indexhm.html.
Lu=EDs=20 de Albuquerque, o grande historiador portugu=EAs da = ci=EAncia n=E1utica=20 dos Descobrimentos, tem v=E1rios textos em que explica e = discute=20 realisticamente as contribui=E7=F5es de Pedro Nunes, sem = cair na=20 exalta=E7=E3o nacionalista acr=EDtica e enganadora de alguns = autores. Um=20 dos seus textos mais interessantes =E9 A N=E1utica e a = Ci=EAncia em=20 Portugal =96 Notas Sobre as Navega=E7=F5es, editado pela = Gradiva.=20

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