Ciência    Expresso - Actual 23/10/2004

De Fi a Fibonacci

Texto de Nuno Crato

13-3-2-21-1-1-8-5, leu Robert Langdon nas letras púrpuras o que Jacques Saunière tinha escrito no soalho do Louvre antes de morrer. O código escapava-lhe, mas a jovem Sophie Neveu, especialista em criptografia, descobriu que se tratava de uma permutação dos primeiros termos da sucessão de Fibonacci.

Quem tenha lido O Código Da Vinci, de Dan Brown, recordar-se-á de imediato de uma das cenas iniciais deste livro absorvente. E saberá que esta sucessão de Fibonacci e o número de ouro Fi aparecem vezes sem conta na ficção.

Tanto estas como outras referências de Dan Brown parecem precisas, mas têm erros. Vários livros foram escritos a comentá-las, no entanto nenhum ainda se dedica aos aspectos científicos do romance. A omissão é surpreendente, uma vez que a matemática tem grande destaque na obra. Que seria da história sem os mistérios da criptografia, por exemplo? E sem os números de Fibonacci?

Logo após detectar a origem do código, a jovem Sophie escreve esses números por ordem crescente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. E explica que «cada termo é igual à soma dos dois anteriores». De facto, começando no terceiro termo, vê-se que 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; etc. O leitor está já a adivinhar que a progressão não tem fim e por isso se chama sucessão (em português é este o termo técnico e não «sequência», como aparece na tradução portuguesa). E o leitor saberá escrever facilmente os termos seguintes: 34, 55, 89, 144,... Mas tente encontrar o termo de ordem 100, mesmo com a ajuda do computador. Verá que tem dificuldades em calcular todos os 21 algarismos desse termo.

Esta estranha sucessão apareceu em Liber Abaci, publicado em 1202 por Leonardo de Pisa (c. 1170-c. 1240), mais tarde conhecido como Fibonacci. No livro aparece um problema curioso: «Um homem colocou um par de coelhos num local cercado por todos os lados por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par, que se torna produtivo no segundo mês de vida?»

Trata-se de um problema relativamente simples. No primeiro mês, existia apenas o par inicial. No segundo mês, este atingiu a idade reprodutiva. No terceiro mês, esse par teve já outro par. No quarto mês, o par inicial teve outro par, enquanto os seus primeiros filhos cresciam. No quinto mês, tanto o par inicial como os seus primeiros filhos, entretanto já maduros, tiveram descendentes. E por aí adiante. O leitor está certamente a ver o número total de pares mês após mês: 1, 1, 2, 3, 5,... E está pois a ver o padrão: obtém-se cada termo somando os dois anteriores - é a célebre sucessão de Fibonacci. Afinal, esta sucessão sublime foi encontrada a partir de um problema aparentemente tão banal como o do incesto de coelhos.

Mas não é só entre coelhos que os números de Fibonacci aparecem. Eles surgem também no arranjo das espirais dos ananases, nas pétalas das rosas e, ao que se julga, nas distâncias entre os braços das galáxias espirais. Estão relacionados com um número famoso em geometria, chamado número de ouro ou proporção divina, designado pela letra grega Fi (assim se escreve em português, e não PHI, como aparece na tradução). Se fizermos o rácio entre cada número de Fibonacci e o seu anterior obtemos 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1,66..., 8/5 = 1,625, etc. Sabe-se há muito que esse rácio converge para um limite, e que esse limite é precisamente o número de ouro Fi. Este número, contudo, não é racional, ou seja, não pode ser expresso como o rácio de dois números inteiros. É uma dízima infinita não periódica. Se quisermos escrevê-lo em notação decimal precisamos de acrescentar reticências, para mostrar que se trata de uma aproximação. Com dez casas decimais podemos escrever Fi = 1,6180339887... Mas nunca se deve escrever Fi = 1,618, tal como o faz Dan Brown.

O autor de O Código Da Vinci está também errado quando atribui a este número Fi propriedades extraordinárias. Nada permite concluir que o Parténon e as pirâmides tenham sido guiados por Fi, nem é verdade que as proporções dos seres humanos «se ajustem com flagrante exactidão a esse rácio». Meça o leitor a distância do seu umbigo aos pés e divida a sua altura por essa distância. Só por acaso encontrará uma boa aproximação para Fi, ao contrário do que é dito em O Código Da Vinci. A «flagrante exactidão» é um mito.

Os matemáticos podem estar reconhecidos a Dan Brown por chamar a atenção do público para vários temas da sua disciplina. Mas o escritor não precisava de recorrer a exageros místicos. A sucessão de Fibonacci e o número Fi são, por si mesmos fascinantes.