Há números que nos surpreendem. Aparecem inesperadamente e nas situações mais diversas. Tome-se por exemplo pi, o número que representa o quociente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Esse número aparece igualmente nas fórmulas da área do círculo e da superfície e volume da esfera. Isso não parece difícil de entender, pois alguma coisa terá a circunferência a ver com essas outras medidas. Mas já não é fácil entender a razão por que pi aparece em estatística, na função exponencial complexa e ainda em somas de séries numéricas como 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16...

Outro desses números surpreendentes é o chamado número de ouro, também conhecido como rácio dourado ou proporção divina. Costuma-se representar pela letra grega maiúscula Fi e corresponde a metade da soma da raiz quadrada de cinco com a unidade. É um número irracional, dado pela dízima infinita não periódica 1,61803398...

Mario Livio, um astrónomo norte-americano do Instituto Científico do Telescópio Espacial Hubble, publicou agora um livro em que lhe chama «o número mais surpreendente do mundo» (The Golden Ratio, Review, Londres). Podemos ficar espantados por alguém ter escrito uma obra inteiramente dedicada a esse estranho número, mas isso não é ainda nada, pois trata-se apenas do mais recente de vários livros, que se somam a incontáveis artigos centrados no mesmo tema.

INFOGRAFIAS DE SOFIA MIGUEL ROSA

Dado apenas pela fórmula acima ou por 1,61803398..., este número de ouro não parece ter nada de especial. É apenas mais um número. As surpresas começam quando se observam as situações em que ele aparece.

Comecemos pelo princípio, ou seja pelo primeiro registo conhecido desse número. Como com muitas outras coisas em matemática, somos levados aos Elementos de Euclides, a obra mais influente de toda a história desta disciplina. Euclides define aí o que chama «divisão em extremo» e «rácio médio». Explica tratar-se da divisão de um segmento em duas partes desiguais com uma propriedade particular: o quociente entre o segmento inteiro e a parte maior é igual ao quociente entre as partes maior e menor. Feitas as contas, vê-se que essa proporção tem de corresponder precisamente a Fi, a que chamámos número de ouro.

O tema foi retomado no século XIII por Leonardo de Pisa (c. 1170-1240), mais conhecido como Fibonacci, e por Fra Luca Pacioli (1445-1517), que introduziu a expressão «proporção divina». Só em meados do século XIX aparecem as designações «rácio dourado» e «número de ouro».

O número Fi aparece em muitas construções geométricas. Tomemos, por exemplo, um triângulo isósceles (dois ângulos iguais) em que o ângulo menor seja metade de cada um dos ângulos maiores (iguais), ou seja, um ângulo tenha 36 graus e os outros dois tenham 72 graus cada. O número de ouro aparece como o rácio de um lado maior para o lado menor. Além disso, se dividirmos ao meio um dos ângulos maiores, obtemos dois triângulos em que o menor é semelhante ao triângulo que se dividiu - os lados estão na proporção dos do triângulo original e os ângulos são os mesmos.

A construção geométrica mais famosa, no entanto, é a do chamado rectângulo de ouro. Trata-se de um rectângulo em que os lados estão na proporção dada pelo número Fi.

Tem-se especulado muito sobre as propriedades estéticas deste rectângulo de ouro. Há quem diga que as suas proporções são tão perfeitas que ele tem sido seguido em obras arquitectónicas antigas, como a fachada do célebre Parténon ateniense. Há também quem diga que o número de ouro aparece na Grande Pirâmide do Egipto, sendo aí a razão entre a altura de um triângulo lateral e metade da sua base. Como o mostrou recentemente o matemático George Markov da Universidade do Maine (www.umcs.maine.edu/~markov), essas especulações não têm uma base credível. O que acontece é que todos esses monumentos têm tantas medidas possíveis de comparar que, após várias tentativas, é sempre possível encontrar uma aproximação de algum número interessante. Do que não restam dúvidas, contudo, é que o rectângulo de ouro é particularmente belo e possui um aspecto esteticamente apelativo. Em vários estudos, as pessoas chamadas a escolher um rectângulo entre vários escolhem maioritariamente o rectângulo de ouro. Esta figura geométrica parece ser mais repousante para os olhos que o rectângulo dado pelo papel A4, por exemplo.

Ambos esses rectângulos, contudo, permitem a sua divisão sucessiva em figuras sempre semelhantes. Na figura junta, comparam-se esses processos de divisão sucessiva. No A4, a divisão processa-se ao meio, gerando dois rectângulos com lados na mesma proporção que os do rectângulo original. Na legenda da ilustração, aproveitamos para corrigir uma gralha lamentável que se infiltrou em parte da legenda da semana passada (aí tinha aparecido l2 em vez de l vezes raiz quadrada de 2).

Para dividir sucessivamente o rectângulo de ouro gerando sempre rectângulos semelhantes, segue-se uma regra diferente da do A4. O rectângulo de ouro original divide-se de forma a obter um quadrado e um rectângulo. Só há uma maneira de o fazer, que é criar um quadrado com os lados iguais ao lado menor do rectângulo original (ver figura). Acontece que a parte restante é ainda um rectângulo de ouro.

Dividindo sucessivamente um rectângulo de ouro com essa regra, encontram-se rectângulos encaixados cada vez mais pequenos. Neles podemos inscrever uma espiral que converge para um ponto chamado pólo e que se encontra na intersecção de duas diagonais: a do rectângulo original e a do rectângulo de ouro resultante da primeira subdivisão. A espiral inscrita na sucessão de rectângulos de ouro é chamada logarítmica e reencontra-se nas situações mais diversas. Aparece em conchas de animais marinhos, na trajectória de voo de falcões, em flores e em galáxias.

Uma das ocorrências mais espantosas do número de ouro encontra-se na disposição das pétalas das rosas. Elas separam-se por ângulos que são partes fraccionárias de Fi. Essa disposição permite arranjar as pétalas de forma compacta e maximizar a sua exposição à luz. Tal como os matemáticos, a natureza parece fascinada pelo número de ouro.